Pro koho: 2. stupeň ZŠ (8. ročník) · matematika
Co se naučíš: Určíš vzájemnou polohu přímky a kružnice (sečna, tečna, vnější přímka) i dvou kružnic, využiješ Thaletovu kružnici a spočítáš délku oblouku a obsah kruhové výseče.
Jak spočítat obvod kružnice, obsah kruhu a mezikruží, ukazuje článek Kruh a kružnice. Teď nás zajímá hlavně poloha: kde leží přímka nebo druhá kružnice vůči kružnici a proč je úhel nad průměrem vždy pravý.
Tětiva, průměr, oblouk
Tětiva je úsečka, která spojuje dva body kružnice. Nejdelší tětivou je průměr, protože prochází středem. Tětiva rozdělí kružnici na dva oblouky.
Vzájemná poloha přímky a kružnice
Porovnáme vzdálenost d středu S od přímky s poloměrem r:
| Vzdálenost | Název přímky | Společné body |
|---|---|---|
| d < r | sečna | 2 |
| d = r | tečna | 1 (bod dotyku T) |
| d > r | vnější přímka | 0 |
Tečna je vždy kolmá k poloměru ST, který vede do bodu dotyku. Toho se využívá při konstrukci.
Dvě kružnice
Kružnice mají poloměry r₁ > r₂ a vzdálenost středů s.
| Podmínka | Poloha | Společné body |
|---|---|---|
| s > r₁ + r₂ | leží vně sebe | 0 |
| s = r₁ + r₂ | vnější dotyk | 1 |
| r₁ − r₂ < s < r₁ + r₂ | protínají se | 2 |
| s = r₁ − r₂ | vnitřní dotyk | 1 |
| s < r₁ − r₂ | menší leží uvnitř větší | 0 |
Mají-li kružnice společný střed (s = 0), jsou soustředné a mezi nimi leží mezikruží.
Thaletova kružnice
Thaletova věta říká: leží-li bod C na kružnici s průměrem AB a je různý od A i B, je úhel ACB pravý. Kružnici nad průměrem AB proto říkáme Thaletova kružnice.
- Pravoúhlý trojúhelník se zadanou přeponou AB: vrchol C hledáme na Thaletově kružnici nad AB.
- Tečny z bodu M, který leží vně kružnice k(S; r): sestrojíme Thaletovu kružnici nad úsečkou SM. Kde protne kružnici k, leží body dotyku T₁ a T₂.
Délku úseku tečny |MT| spočítáme Pythagorovou větou, protože trojúhelník SMT je pravoúhlý: |MT|² = |SM|² − r². Pro |SM| = 5 cm a r = 3 cm vyjde |MT| = 4 cm.
Délka oblouku a kruhová výseč
Výseč se středovým úhlem α je α/360 celého kruhu. Proto:
- délka oblouku l = 2πr · α/360
- obsah výseče S = πr² · α/360
Pro r = 6 cm a α = 60° (π ≈ 3,14): l = 2 · 3,14 · 6 : 6 = 6,28 cm, S = 3,14 · 36 : 6 = 18,84 cm².
Pizza o průměru 30 cm rozkrojená na 8 dílů: jeden díl má úhel 45°, tedy osminu kruhu. S = 3,14 · 15² : 8 ≈ 88,3 cm².
Shrnutí
- Přímka a kružnice: porovnej vzdálenost středu od přímky s poloměrem.
- Dvě kružnice: porovnej vzdálenost středů se součtem a rozdílem poloměrů.
- Úhel nad průměrem je pravý (Thaletova věta), tečna je kolmá k poloměru.
- Oblouk a výseč: díl α/360 z obvodu nebo z obsahu.
Pro učitele – shrnutí
- Cíl: žák určí vzájemnou polohu přímky a kružnice i dvou kružnic, využije Thaletovu kružnici a vypočítá délku oblouku a obsah výseče. Výstup RVP ZV 2026 MAT-MAT-003-ZV9-007 (nejbližší), doplňkově MAT-MAT-003-ZV9-009 (množiny bodů) a MAT-MAT-002-ZV9-005.
- Časté chyby: vzdálenost porovnaná s průměrem místo s poloměrem; u dvou kružnic jen součet poloměrů, chybí rozdíl (vnitřní dotyk); tečna v náčrtu není kolmá k poloměru; u výseče chybí dělení 360.
- Návaznost: předchází článek Kruh a kružnice (obvod, obsah, mezikruží) a Pythagorova věta (délka tečny); navazuje válec a konstrukční úlohy s množinami bodů.
- Pomůcky: kružítko, pravítko s ryskou, úhloměr. Kvíz i list počítají s π ≈ 3,14.
Procvič si
Kvíz: Vzájemná poloha přímky a kružnice
Zdroje
- Kružnice. Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. https://cs.wikipedia.org/wiki/Kružnice [cit. 26. 10. 2026]. Licence CC BY-SA 4.0.
- Thaletova věta. Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. https://cs.wikipedia.org/wiki/Thaletova_věta [cit. 26. 10. 2026]. Licence CC BY-SA 4.0.
- Tečna. Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. https://cs.wikipedia.org/wiki/Tečna [cit. 26. 10. 2026]. Licence CC BY-SA 4.0.
- Kruhová výseč. Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. https://cs.wikipedia.org/wiki/Kruhová_výseč [cit. 26. 10. 2026]. Licence CC BY-SA 4.0.
- NPI ČR. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, platnost od 1. 9. 2026 [online]. https://prohlednout.rvp.cz/export/pdf?mdu=true&rvp_type_id=6 [staženo 16. 10. 2026, kód ověřen 26. 10. 2026].
- MŠMT. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání (verze 2023, čistopis) [online]. https://edu.gov.cz/wp-content/uploads/2023/07/RVP_ZV_2023_cista_verze.pdf [cit. 26. 10. 2026].
