Pro koho: 2. stupeň ZŠ (8. ročník) · matematika
Co se naučíš: Naučíš se poznat odvěsny a přeponu, dopočítat chybějící stranu pravoúhlého trojúhelníku, ověřit, jestli je trojúhelník pravoúhlý, a vyřešit slovní úlohy.
Pythagorova věta platí jen v pravoúhlém trojúhelníku. Dvě strany, které svírají pravý úhel, se jmenují odvěsny (a, b). Nejdelší strana naproti pravému úhlu je přepona (c).
Co věta říká
a² + b² = c². Obsah čtverce nad přeponou se rovná součtu obsahů čtverců nad oběma odvěsnami.
Věta nese jméno řeckého filozofa a matematika Pýthagora (asi 570 – asi 495 př. n. l.). Samotný vztah ale znali už staří Babylóňané, více než tisíc let před Pýthagorem.
Výpočet přepony
Odvěsny měří 6 cm a 8 cm. c² = 6² + 8² = 36 + 64 = 100, takže c = √100 = 10 cm.
Výpočet odvěsny
Přepona měří 25 cm, jedna odvěsna 7 cm. Druhou odvěsnu dostaneme odečtením: b² = c² − a² = 625 − 49 = 576, b = √576 = 24 cm. U odvěsny se tedy odčítá, u přepony sčítá.
Je trojúhelník pravoúhlý?
Větu lze použít i obráceně. Strany 5, 12 a 13 cm: 25 + 144 = 169 = 13². Trojúhelník je pravoúhlý. Strany 4, 5 a 6 cm: 16 + 25 = 41, ale 6² = 36. Pravoúhlý není.
Trojice celých čísel, pro které věta platí, se nazývají pythagorejské. Nejznámější je 3, 4, 5. Dál třeba 5, 12, 13 nebo 8, 15, 17. Dvojnásobky (6, 8, 10) fungují také.
Slovní úlohy
Žebřík: Žebřík dlouhý 5 m je opřený o zeď, jeho pata je 1,4 m od zdi. Jak vysoko dosáhne? Žebřík je přepona: h² = 5² − 1,4² = 25 − 1,96 = 23,04; h = 4,8 m.
Úhlopříčka obdélníku: Hřiště má rozměry 9 m a 12 m. Úhlopříčka u² = 81 + 144 = 225, u = 15 m.
Úhlopříčka čtverce o straně a je a · √2. Pro a = 1 m je to asi 1,41 m.
Časté chyby
- Sčítání tam, kde hledáme odvěsnu. Přepona je vždy nejdelší, proto se u odvěsny odčítá.
- Zapomenutá odmocnina na konci. c² = 100 neznamená c = 100.
- Použití u trojúhelníku, který pravoúhlý není.
Shrnutí
- a² + b² = c², kde c je přepona.
- Přepona: c = √(a² + b²). Odvěsna: a = √(c² − b²).
- Platí jen v pravoúhlém trojúhelníku.
Procvič si
Kvíz: Pythagorova věta
Zdroje
- Pythagorova věta. Wikipedie: Otevřená encyklopedie [online]. https://cs.wikipedia.org/wiki/Pythagorova_věta [cit. 16. 10. 2026].
- O’CONNOR, J. J. a ROBERTSON, E. F. Pythagoras’s theorem in Babylonian mathematics (tabulky YBC 7289 a Plimpton 322). MacTutor History of Mathematics, University of St Andrews [online]. https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/HistTopics/Babylonian_Pythagoras/ [cit. 16. 10. 2026].
- NPI ČR. Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, platnost od 1. 9. 2026 [online]. https://prohlednout.rvp.cz/export/pdf?mdu=true&rvp_type_id=6 [staženo 16. 10. 2026].
